《圆的一般方程》教学设计
【教学目标】
1.掌握圆的一般方程,能判断一个二元二次方程是否是圆的方程.
2.能根据圆的一般方程求出圆心坐标和半径,会用待定系数法求圆的方程.
3.进一步培养学生数形结合的能力,综合应用知识解决问题的能力.
【教学重点】
圆的一般方程.
【教学难点】
二元二次方程与圆的一般方程的关系.
【教学方法】
这节课主要采用讲练结合的方法.首先由圆的标准方程展开得到圆的一般方程,然后讨论一个二元二次方程满足什么样的条件才能表示圆.最后通过例题,让学生初步感悟待定系数法和求曲线方程的一般步骤.
【教学过程】
环节 | 教学内容 | 师生互动 | 设计意图 |
引 入 | 1. 圆心为C(a,b),半径为r(r>0)的圆的标准方程是什么? 2. 回答下列问题 (1)以原点为圆心,半径为3的圆的方程是 ; (2)圆(x-1)2+(y+2)2=25的圆心坐标是 ,半径是. 3. 直线方程有多种形式,圆的方程是否还有其他的形式? | 师:上节课我们学习了圆的标准方程,请同学们回顾一下,圆心坐标为(a,b),半径为r的圆的方程是什么? 学生回答教师提出的问题. 学生口答,教师点评. 教师类比直线方程提出问题. | 回顾上节所学内容,为学习新知做好准备. |
新 课 新 课 新 课 | 探究一 (1)请将圆心在(a,b)半径为r的圆的标准方程展开; (2)展开后得到的方程有几个未知数?最高次是几次?这个方程是几元几次方程? (3)如果令-2a=D,-2b=E,a2+b2-r2=F,这个方程是什么形式? (4)任意一个圆的方程都可表示为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的形式吗? 探究二 (1)请举出几个形式为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的方程; (2)你所举出的方程一定表示圆吗? 下述方程表示的是圆吗? x2+y2+2x+2y+8=0, x2+y2+2x+2y+2=0, x2+y2+2x+2y=0. 探究三 满足怎样的条件时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0① 表示圆? 将方程配方,得 (x+2)2+(y+2)2=4. ② (1)当D2+E2-4F>0时,方程①表示以(-2,-2)为圆心,且半径为2的圆; (2)当D2+E2-4F=0时,方程①表示点(-2,-2); (3)当D2+E2-4F<0时,方程① 不表示任何图形. 圆的一般方程 当D2+E2-4F>0时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程. 练习一 求出下列圆的圆心及半径: (1)x2+y2-6x=0; (2)x2+y2-4x-6y+12=0. 例1求过点O(0,0),M(1,1),N(4,2)的圆的方程,并求出这个圆的半径和圆心坐标. 解:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 其中D,E,F待定. 由题意得 4D+2E+F+20=0 解得 D=-8,E=6,F=0. 于是所求圆的方程为 x2+y2-8x+6y=0. 将这个方程配方,得 (x-4)2+(y+3)2=25. 所以所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径为5. 练习二 求经过三点(0,0),(3,2),(-4,0)的圆的方程. 例2已知一曲线是与两个定点O(0,0),A(3,0) 距离比为2的点轨迹,求这个曲线的方程. 解 在给定的坐标系中,设M(x,y)是曲线上的任意一点,点M在曲线上的充要条件是 |AM|=2. 由两点间的距离公式,上式可用坐标表示为 =2, 两边平方并化简,得曲线方程 x2+y2+2x-3=0. 将方程配方,得 (x+1)2+y2=4. 所以所求曲线是以C(-1,0)为圆心,半径为2的圆. 练习三 求与两定点A(-1,2),B(3,2)的距离比为的点的轨迹方程. | 学生解决教师提出的问题,教师点评. 师:在方程x2+y2+Dx+Ey+ F=0中D,E,F是常数吗?为什么? 学生回答教师提出的问题. 学生思考教师提出的问题. 师:将方程x2+y2+2x+2y+ 8=0配方,你能得到怎样的方程? 学生根据教师提示分组解答,配方后方程分别为 (x+1)2+(y+1)2=-6, (x+1)2+(y+1)2=0, (x+1)2+(y+1)2=2. 学生猜想. 教师强调配方法的应用,引导学生解答. 师:将方程②同圆的标准方程比较,如果方程②表示圆,必须满足怎样的条件? 此时圆的圆心坐标是多少?圆的半径呢? 学生回答,教师点评. 师:由以上探究可知,只有当D2+E2-4F>0时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 才表示一个圆. 师:圆的标准方程指明了圆的圆心和半径,圆的一般方程表明了圆的方程形式是二元二次方程. 学生练习,教师巡视时应当引导学生用配方法求解. 师:确定一个圆的标准方程需要知道哪几个值?要确定圆的一般方程呢? 学生回答. 师:先设所求方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. 师:根据圆经过三个点,这三个点的坐标应满足方程,所以我们会得到一个三元一次方程组. 教师引导学生解方程组. 师:求出D,E,F的值,所求圆的方程也就确定了. 师:像这种求圆的一般方程的方法叫待定系数法. 师:类似前面的讨论,我们可以用配方法表示出圆的标准方程,然后写出圆心坐标及半径. 学生练习,教师巡视. 师:请同学们回顾一下推导圆的标准方程时的过程. 学生看书回顾,教师指明推导标准方程的主要步骤. 师:设动点,写出动点M满足的条件. 师:用点的坐标表示M满足的几何条件. 师:化简方程. 教师演示所得图形曲线. 学生练习,教师巡视. | 使学生初步了解圆的一般方程的形式. 强调方程中D,E,F是常数. 加深对圆的一般方程形式的认识. 学生通过举例验证引出问题(2). 让学生主动猜想. 强调配方法在解决二次问题中的应用. 类比圆的标准方程,探究方程二元二次方程表示圆的条件. 强调圆的标准方程和一般方程的特点. 让学生了解待定系法求圆的方程的一般步骤. 类比推导圆的标准方程的步骤,让学生初步感悟求曲线方程的一般步骤和方法. 强化训练. |
小 结 | 1.圆的一般方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0, 其中D2+E2-4F>0. 2.待定系数法求圆的一般方程. | 学生在教师的引导下回顾本节主要内容. | 简洁明了概括本节课的重要知识,学生易于理解记忆. |
作 业 | 学生标记作业. | 针对学生实际,对课后书面作业实施分层设置. |
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